Análisis fractal de la estructura terciaria de las proteínas

 

Francisco Torrens

La estructura de las proteínas se ha podido observar mediante rayos X y resonancia magnética nuclear, descubriéndose en su estructura regular distintos tipos de conformación que aparecen después de cuidadosos análisis de su estructura terciaria. Esta es muy compleja y tan sólo puede ser descrita de forma meramente cualitativa. Es necesario obtener un método de análisis de la conformación de las proteínas, que sea cuantitativo y objetivo, y que extraiga información de la irregularidad de las estructuras de las moléculas. Hasta hace poco, las herramientas más usuales eran las geometrías euclídea y diferencial, limitándose estas técnicas al estudio de formas como el círculo, la elipse, la parábola, la esfera y curvas o superficies diferenciables. Para las formas extremadamente irregulares estas geometrías no sirven. Es en este contexto donde se aplica la teoría de los fractales. La teoría trata con formas irregulares y proporciona medios cuantitativos para extraer una regularidad tras una aparente forma irregular.

Dimensión fractal

El advertir el contraste entre la geometría euclídea y la naturaleza es una idea antigua. El objetivo que hay tras la geometría fractal es una matematización de las formas naturales que va más allá de la geometría euclídea. La dimensión euclídea coincide con el número de coordenadas. La comprensión de los procesos de irregularidad y de fragmentación no se puede producir de forma satisfactoria con la definición de este tipo de dimensión. Se puede distinguir entre dos tipos de dimensiones. La euclídea DT que es un número entero y la dimensión D formulada por Hausdorff en 1919, que puede ser un número real. Todos los conjuntos euclídeos cumplen D= DT mientras que los fractales son aquellos conjuntos para los que D> DT (B. B. Mandelbrot, Fractals: Form, Chance, and Dimension, Freeman, San Francisco, 1977).

Estudiemos un perfil de una costa. Mientras desde el punto de vista topológico tiene dimensión 1, la dimensión fractal o de Hausdorff difiere de unas costas a otras. Si nos detenemos a pensar por un instante en la longitud de una línea de costa, concluiremos que no está unívocamente determinada. Si medimos una costa de kilómetro en kilómetro, su longitud tiene un cierto valor. Si la medimos de metro en metro, la longitud aumenta muchísimo, ya que nos podemos introducir en calas, por ejemplo, de las que antes habíamos contado a lo sumo, la amplitud de la boca. Si la medimos de milímetro en milímetro, tenemos un nuevo incremento espectacular de longitud. Así, la línea de costa es una curva matemática no rectificable, cuya longitud depende de la unidad de medida. A pesar de que desde el punto de vista topológico tiene dimensión unidad, se define según Hausdorff-Besicovitch la dimensión D como

1-D = lim(eÔ0) log L(e)/log e

donde L es la longitud de la curva medida con el patróne. Esta dimensión indica cómo crece la longitud al disminuir la unidad de media. Lo mismo se puede hacer en el caso de las superficies o de las distribuciones irregulares de puntos, como la disminución de galaxias en el universo.

Significado de la dimensión fractal

Una idea intuitiva de la dimensión fractal la podríamos obtener al considerar la trayectoria errática de una partícula en un fluido en el movimiento browniano. A pesar de ser de dimensión unidad, esta curva cubre casi toda la superficie. Además, al considerar un fragmento pequeño de esta línea, un fragmento que a primera vista era rectilíneo, se observa que, en realidad, está compuesto por una línea irregular muy parecida a la línea total. Al considerar fragmentos cada vez más pequeños, esta característica se mantiene. Esto permite intuir que una curva de estas características tiene una dimensión fractal comprendida entre 1 y 3, ya que a pesar de ser una línea, prácticamente llena todo el espacio.

Desde 1980, las revistas científicas de todas las especialidades han publicado centenares de artículos sobre la dimensión fractal [B. H. Kaye, A Random Walk through Fractal Dimensions, VCH, Weinheim, (1994)].

Dimensión fractal de las proteínas

Ilustraremos cómo se puede determinar la dimensión fractal de la estructura terciaria de las proteínas. Definimos la longitud de la proteína L como una función del patrón de medida e a partir de la siguiente definición (véase la figura).
 

A partir del átomo Ca del residuo N terminal se dibuja una línea en zigzag que conecte los átomos Ca de la proteína a intervalos de e en e residuos. Si al llegar al último tramo de la molécula quedan una cantidad inferior a e residuos, se detiene el proceso en ese punto. Notemos que cuanto menor es e mayor es el nivel de detalle con que se observa la molécula.

La longitud de la proteína se calcula como la suma de las longitudes de los distintos tramos de la línea en zigzag más la contribución del tramo final que se puede evaluar a partir de conocer el número de residuos, el tamaño e de la escala y la longitud media de los distintos tramos de la línea en zigzag. De esta forma puede construirse en función de e, a partir de la información contenida en los bancos de datos referentes a las proteínas. Al representar en función de se obtiene una zona rectilínea. Las dimensiones fractales se obtienen de las pendientes de estas rectas.

Isogai e Itoh analizaron las estructuras terciarias de 43 proteínas seleccionadas para cubrir las cinco clases estructurales de moléculas proteicas: proteínas con sólo hélices a (a), casi exclusivamente hoja b (b), hélice a y hoja b tendiendo a estar segregadas a lo largo de la cadena (a+ b), hélice a y hoja b tendiendo a alternar a lo largo de la cadena (a/b) y ninguna hélice a ni hoja b (miscelánea) [Y. Isogai y T. Itoh, J. Phys. Soc. Jpn., 53, 2162 (1984)]. Aplicaron la teoría fractal con la intención de idear una herramienta nueva para la descripción cuantitativa de la estructura terciaria de las proteínas. Sus resultados para la dimensión fractal D se resumen promediados por clases en la tabla siguiente, donde N es el número de residuos para cada clase.
 


Clase estructural                                                                                                       N         D____
Sólo hélices a                                                                                                         136       1,39
Casi exclusivamente hojab                                                                                 191       1,29
Hélice a  y hoja b  tienden a estar segregadas a lo largo de la cadena      180       1,34
Hélice a  y hojab  tienden a alternar a lo largo de la cadena                      292       1,34
Ninguna hélice a  ni hoja b                                                                             109        1,40
Media de las cinco clases estructurales                                                               211        1,34
Cadena Gaussiana                                                                                                   -            1,50

En promedio, se encuentra que la dimensión fractal vale 1,34. Este valor puede compararse con la dimensión fractal que se obtendría para una cadena gaussiana, que vale 1,50. Vemos que la dimensión fractal es menor que la de la cadena gaussiana.

La interpretación correspondiente es que la molécula está más alargada que una cadena aleatoria, debido a la repulsión estérica entre átomos próximos. Vemos pues cómo la idea de interacción repulsiva se traduce en un coeficiente fractal menor, en comparación con el caso sin interacciones.

La clase b se distingue cuantitativamente de otras clases

A continuación se examinan separadamente las dimensiones fractales de varias clases estructurales. La magnitud de los valores medios de la dimensión fractal para las cinco clases estructurales disminuye en el orden de la clase miscelánea, a, a+b, a/b y b, y la clase de tipo b muestra diferencias significativas entre las otras clases excepto la de tipo misceláneo. La clase miscelánea muestra el valor mayor de la dimensión fractal, pero esto no debe acentuarse mucho porque esta clase incluye sólo dos proteínas. Es una consecuencia natural que las clases a y b muestran los valores mayor y menor de la dimensión fractal, respectivamente, entre las clases excepto la clase miscelánea, porque la estructura local de la clase b se extiende más que la de la clase a y las de las clases á+b y á/b caen en medio.

La explicación correspondiente es que la capacidad del análisis fractal está restringida a límites estrechos y no es capaz de distinguir las diferencias pequeñas de las estructuras locales de los tipos a+b y a/b. La dimensión fractal se define con las estructuras locales en el intervalo de 10 residuos de aminoácidos. Este intervalo es demasiado corto para distinguir las diferencias pequeñas de las estructuras locales de los tipos a+b y a/b cuyas estructuras locales notables se caracterizan más allá de este intervalo.

Francisco Torrens es Profesor Titular de Química Física en la Universidad de Valencia